Potenzieren

Potenzieren / Potenzieren von negativen Zahlen / Potenzen als Produkt schreiben: Erklärung, Beispiele und Übungen
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Potenz
Eine Potenz besteht aus zwei Teilen: Basis und Exponent. Die Basis wird auch Grundzahl genannt. Die kleine Zahl oben wird Exponent oder Hochzahl genannt. Dabei ist die Basis eine beliebige reelle Zahl, der Exponent ist in der Regel eine natürliche Zahl (1,2,3,4,...).

Der Term
wird als Potenz bezeichnet. Wir sagen: „Drei hoch vier.“ Der Exponent gibt an, wie oft die Basis als Faktor vorkommt. Die hochgestellte "4" gibt also an, dass die Zahl 3 viermal mit sich selbst multipliziert werden soll. Das Ergebnis 81 ist der Potenzwert.


Beispiel:
Anstatt des Produkts 4 · 4 · 4 · 4 · 4 (5 gleiche Faktoren!) schreibt und liest man kürzer
("4 hoch 5").


Anstatt des Produkts 7 · 7 · 7 · 7 (4 gleiche Faktoren!) schreibt und liest man kürzer
("7 hoch 4").


Zahlen als Potenzen schreiben
Nehmen wir die Zahl 3125 als ein Beispiel an. Diese Zahl ist mehrfach durch 5 teilbar.

Negative Basis
Ist die Basis negativ, kann das Resultat der Potenz negativ sein, wenn der Exponent ungerade ist.
Ist der Exponent gerade, ist der Potenzwert positiv.

Ist der Exponent ungerade, ist der Potenzwert negativ.

Potenzen mit einer Klammer um die Basis
Taucht in einer Aufgabe um die Basis einer Potenz eine Klammer auf, so bezieht sich der Exponent auf den gesamten Inhalt der Klammer.


Negativer Exponent
Ist der Exponent negativ, schreibt man eins durch die Potenz mit positivem Exponenten. Man bildet also den Kehrwert der Potenz (das Vorzeichen des Exponenten kehrt sich dabei um).

Der Zähler ist immer 1 und im Nenner steht die Potenz mit Basis a und positivem Exponenten n.
Beachte: Die Basis darf nicht 0 sein!
Beispiel:


Sonderfälle:
Wenn der Exponent 1 ist - in diesem Fall gilt allgemein für allen reellen Zahlen a:

Eine Zahl hoch 1 ergibt die Zahl selbst.
Wenn der Exponent 0 ist - in diesem Fall gilt allgemein für allen reellen Zahlen a:

Jede Zahl ungleich 0 hoch Null gibt 1!
Wenn die Basis 0 ist - in diesem Fall ist der
Potenzwert 0:
Potenzwert 0:

Null hoch jede Zahl ungleich 0 gibt 0!
Wenn die Basis 1 ist - in diesem Fall ist der Potenzwert immer 1.

Eins hoch jede natürliche Zahl gibt 1!
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